Question

（10分）在Rt△ABC中，∠BAC=,D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．

（1）求证：△AEF≌△DEB；

（2）证明四边形ADCF是菱形；

（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCFD 的面积．

Answer

（1）证明详见解析；（2）证明详见解析；（3）10．

【解析】

试题（1）由∠DBE=∠AFE，∠BED=∠FEA，ED=EA，根据“AAS”证得△BDE≌△FAE（AAS）；

（2）由全等可得AF=BD，即AF=DC，根据一组对边平行且相等的四边形的平行四边形证得四边形ADCF是平行四边形，又邻边AD=DC，所以四边形四边形ADCF是菱形；

（3）解法一：连接DF，证得四边形ABDF是平行四边形，从而得到对角线DF的长，利用菱形的对角线长求面积；

解法二：利用Rt△ABC的面积求得BC边上的高，即得到菱形ADCF中DC边上的高，利用平行四边形的面积公式求菱形的面积．

试题解析：（1）证明：在Rt△ABC中，∠BAC=，D是BC的中点，

∴AD=BC=DC=BD，

∵AF∥BC，

∴∠DBE=∠AFE，

又∵E是AD中点，

∴ED=EA，

又∠BED=∠FEA，

∴△BDE≌△FAE（AAS）；

（2）证明：由（1）知AF=BD，即AF=DC，

∴AF∥DC，AF=DC，

∴四边形ADCF是平行四边形，

又∵AD=DC，

∴四边形ADCF是菱形；

（3）【解析】
（解法一）连接DF，

∵AFDC，BD=CD，

∴AFBD，

∴四边形ABDF是平行四边形，

∴DF=AB=5，

∴；

（解法二）在Rt△ABC中，AC=4，AB=5，

∴BC=，

设BC边上的高为，

则，

∴，

∴．