Question

如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A、C两点，交x轴于点B，且OA=AB.

(1)求双曲线的解析式；

(2)求点C的坐标，并直接写出时x的取值范围；

(3)设AC直线与y轴交于点D，求D点到OA的距离．

Answer

(1)；(2)C(-1，-4)；或；(3)点到的距离为.

【解析】

(1)作高线，根据等腰直角三角形的性质和点的坐标的特点得：，可得的坐标，从而得双曲线的解析式；

(2)一次函数和反比例函数解析式列方程组，解出可得点的坐标，根据图象可得结论；

(3)过点作于，由点的坐标得出直线是，即可得出是等腰直角三角形，然后根据勾股定理即可求得．

【解析】
(1)∵点在直线上，

∴设，

过作于，

∵，且，

∴，

∴，

∴，

，

∴，

∴，

∴；

(2)∵，解得： ， ，

∴，

由图象得：时的取值范围是或；

(3)过点作于，

∵，

∴直线为：，

∴，

∴是等腰直角三角形，

由直线可知，

∴，

∵，即，

∴，

∴点到的距离为.