Question

如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，AB与CD交于点E，点P是CD延长线上的一点，AP=AC，且∠B=2∠P．

（1）求证：PA是⊙O的切线；

（2）若PD=，求⊙O的直径；

（3）在（2）的条件下，若点B等分半圆CD，求DE的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）；

【解析】

（1）连接OA、AD，如图，利用圆周角定理得到∠B=∠ADC，则可证明∠ADC=2

∠ACP，利用CD为直径得到∠DAC=90°，从而得到∠ADC=60°，∠C=30°，则∠AOP=60°，

于是可证明∠OAP=90°，然后根据切线的判断定理得到结论；

（2）利用∠P=30°得到OP=2OA，则，从而得到⊙O的直径；

（3）作EH⊥AD于H，如图，由点B等分半圆CD得到∠BAC=45°，则∠DAE=45°，设

DH=x，则DE=2x，所以 然后求出x即可

得到DE的长．

（1）证明：连接OA、AD，如图，

∵∠B=2∠P，∠B=∠ADC，

∴∠ADC=2∠P，

∵AP=AC，

∴∠P=∠ACP，

∴∠ADC=2∠ACP，

∵CD为直径，

∴∠DAC=90°，

∴∠ADC=60°，∠C=30°，

∴△ADO为等边三角形，

∴∠AOP=60°，

而∠P=∠ACP=30°，

∴∠OAP=90°，

∴OA⊥PA，

∴PA是⊙O的切线；

（2）【解析】
在Rt△OAP中，∵∠P=30°，

∴OP=2OA，

∴

∴⊙O的直径为；

（3）【解析】
作EH⊥AD于H，如图，

∵点B等分半圆CD，

∴∠BAC=45°，

∴∠DAE=45°，

设DH=x，

在Rt△DHE中，DE=2x，

在Rt△AHE中，

∴

即

解得

∴