Question

如图，钝角△ABC中，AB＝AC，BC＝2，O是边AB上一点，以O为圆心，OB为半径作⊙O，交边AB于点D，交边BC于点E，过E作⊙O的切线交边AC于点F．

（1）求证：EF⊥AC．

（2）连结DF，若∠ABC＝30°，且DF∥BC，求⊙O的半径长．

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

（1）因为EF为圆0的切线，故由此想到连接OE，得到∠OEF＝90°，再根据OB和OE的关系找出∠OEB＝∠C，判断出OE平行于AC，即可以得出EF⊥AC.

（2）连接DE、DF，设圆的半径为r,利用直径所对的圆周角是直角，得出∠DEB为直角，再根据 EF⊥AC，OE⊥AB，角与角之间的关系可以求出∠EDF为直角，利用勾股定理求出BE、EC的长，再根据BE+EC＝可以求出圆O的半径.

（1）证明：连接OE，如图，

∵OB=OE，

∴∠B=∠OEB，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∴∠OEB=∠C，

∴OE∥AC，

∵EF为切线，

∴OE⊥EF，

∴EF⊥AC；

（2）【解析】
连接DE，如图，设⊙O的半径长为r，

∵BD为直径，

∴∠BED=90°，

在Rt△BDE中，∵∠B=30°，

∴DE=BD=r，BE=r，

∵DF∥BC，

∴∠EDF=∠BED=90°，

∵∠C=∠B=30°，

∴∠CEF=60°，

∴∠DFE=∠CEF=60°，

在Rt△DEF中，DF=r，

∴EF=2DF=r，

在Rt△CEF中，CE=2EF=r，

而BC=2，

∴r+r=2，解得r=，

即⊙O的半径长为．