Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx²﹣2mx+m+4与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B，C（点B在点C左侧）．

（1）求该抛物线的表达式及点B，C的坐标；

（2）抛物线的对称轴与x轴交于点D，若直线y＝kx+b经过点D和点E（﹣1，﹣2），求直线DE的表达式；

（3）在（2）的条件下，已知点P（t，0），过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点M，交直线DE于点N，若点M和点N中至少有一个点在x轴下方，直接写出t的取值范围．

Answer

（1），B(-1,0)，C(3,0)；（2）y=x-1；（3）或．

【解析】

试题（1）由抛物线与y轴交于点A（0,3），把A点坐标代入解析式可得出m的值，即求出抛物线的解析式，然后抛物线与轴交于点B、C两点，即可求出B、C两点的坐标；（2）

（2）由求出点D的坐标，将D和E的点代入直线的解析式，即可求出直线DE的表达式；

（3）根据图像即可直接写出的取值范围．

试题解析：【解析】
（1）∵抛物线与y轴交于点A（0,3），

∴m+4=3．

∴m=-1．

∴抛物线的表达式为．

∵抛物线与轴交于点B，C，

∴令y=0，即．

解得，．

又∵点B在点C左侧，

∴点B的坐标为，点C的坐标为．

（2）∵，

∴抛物线的对称轴为直线．

∵抛物线的对称轴与轴交于点D，

∴点D的坐标为(1,0)．

∵直线经过点D(1,0)和点E(-1,-2)，

∴

解得

∴直线DE的表达式为y=x-1．

（3）或