Question

如图，已知抛物线的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）。

（1）求直线BC与抛物线的解析式；

（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；

（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S₁，△ABN的面积为S₂，且S₁=6S₂，求点P的坐标。

Answer

（1）

（2）

（3）P的坐标为（－1，12）或（6，5）或（2，－3）或（3，－4）

【解析】

（1）由B（5，0），C（0，5），应用待定系数法即可求直线BC与抛物线的解析式。

（2）构造MN关于点M横坐标的函数关系式，应用二次函数最值原理求解。

（3）根据S1=6S2求得BC与PQ的距离h，从而求得PQ由BC平移的距离，根据平移的性质求得PQ的解析式，与抛物线联立，即可求得点P的坐标。

【解析】
（1）设直线BC的解析式为，

将B（5，0），C（0，5）代入，得，得。

∴直线BC的解析式为。

将B（5，0），C（0，5）代入，得，得。

∴抛物线的解析式。

（2）∵点M是抛物线在x轴下方图象上的动点，∴设M。

∵点N是直线BC上与点M横坐标相同的点，∴N。

∵当点M在抛物线在x轴下方时，N的纵坐标总大于M的纵坐标。

∴。

∴MN的最大值是。

（3）当MN取得最大值时，N。

∵的对称轴是，B（5，0），∴A（1，0）。∴AB=4。

∴。

由勾股定理可得，。

设BC与PQ的距离为h，则由S1=6S2得：，即。

如图，过点B作平行四边形CBPQ的高BH，过点H作x轴的垂线交点E ，则BH=，EH是直线BC沿y轴方向平移的距离。

易得，△BEH是等腰直角三角形，

∴EH=。

∴直线BC沿y轴方向平移6个单位得PQ的解析式：

或。

当时，与联立，得

，解得或。此时，点P的坐标为（－1，12）或（6，5）。

当时，与联立，得

，解得或。此时，点P的坐标为（2，－3）或（3，－4）。

综上所述，点P的坐标为（－1，12）或（6，5）或（2，－3）或（3，－4）。