Question

如图1，在△ABC中，∠A＝60°，∠CBM，∠BCN是△ABC的外角，∠CBM，∠BCN的平分线BD，CD交于点D．

(1)求∠BDC的度数；

(2)在图1中，过点D作DE⊥BD，垂足为点D，过点B作BF∥DE交DC的延长线于点F(如图2)，求证：BF是∠ABC的平分线．

Answer

(1)∠BDC=60°；(2)证明见解析.

【解析】

(1)依据三角形内角和定理可得，∠ABC+∠ACB＝120°，进而得出∠CBM+∠BCN＝360°﹣120°＝240°，再根据∠CBM，∠BCN的平分线BD，CD交于点D，即可得到，∠DBC+∠BCD＝120°，即可得出∠D＝180°﹣120°＝60°；

(2)依据DE⊥BD，BF∥DE，即可得出∠2+∠3＝90°，∠1+∠4＝90°，再根据∠3＝∠4，可得∠1＝∠2，进而得到BF是∠ABC的平分线．

【解析】
(1)∵△ABC中，∠A＝60°，

∴∠ABC+∠ACB＝120°，

又∵∠ABM＝∠ACN＝180°，

∴∠CBM+∠BCN＝360°﹣120°＝240°，

又∵∠CBM，∠BCN的平分线BD，CD交于点D，

∴∠CBD＝∠CBM，∠BCD＝∠BCN，

∴△BCD中，∠DBC+∠BCD＝(∠CBM+∠BCN)＝×240°＝120°，

∴∠D＝180°﹣120°＝60°；

(2)如图2，∵DE⊥BD，BF∥DE，

∴∠DBF＝180°﹣90°＝90°，

即∠2+∠3＝90°，

∴∠1+∠4＝90°，

又∵∠3＝∠4，

∴∠1＝∠2，

∴BF是∠ABC的平分线．