Question

在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＜AC，M是BC边的中点，MN⊥BC交AC于点N，动点P在线段BA上以每秒cm的速度由点B向点A运动．同时，动点Q在线段AC上由点N向点C运动，且始终保持MQ⊥MP．一个点到终点时两个点同时停止运动，设运动的时间为t秒(t＞0)．

(1)求证：△PBM∽△QNM．

(2)若∠ABC＝60°，AB＝4cm，

①求动点Q的运动速度；

②设△APQ的面积为S(cm²)，求S与t的等量关系式(不必写出t的取值范围)．

Answer

（1）见解析；（2）①Q点的运动速度为1cm/s，②S=﹣t2+8．

【解析】

(1)由条件可以得出,,就可以得出;
(2)①根据直角三角形的性质和中垂线的性质BM、MN的值,再由就可以求出Q的运动速度;
②先由条件表示出AN、AP和AQ,再由三角形的面积公式就可以求出其解析式;

（1）∵MQ⊥MP，MN⊥BC，

∴∠PMN+∠PMB=90°，∠QMN+∠PMN=90°，

∴∠PMB=∠QMN．

∵∠B+∠C=90°，∠C+∠MNQ=90°，

∴∠B=∠MNQ，

∴△PBM∽△QNM．

（2）∵∠BAC=90°，∠ABC=60°，

∴BC=2AB=8cm．AC=12cm，

∵MN垂直平分BC，

∴BM=CM=4cm．

∵∠C=30°，

∴MN=CM=4cm．

①设Q点的运动速度为v（cm/s）．

∵△PBM∽△QNM．

∴=，

∴=，

∴v=1，

答：Q点的运动速度为1cm/s．

②∵AN=AC﹣NC=12﹣8=4cm，

∴AP=4﹣t，AQ=4+t，

∴S=AP•AQ=（4﹣t）（4+t）=﹣t2+8．