Question

如图，OA和OB是⊙O的半径，OB＝2，OA⊥OB，P是OA上任一点，BP的延长线交⊙O于点Q，过点Q的⊙O的切线交OA延长线于点R．

（1）求证：RP＝RQ；

（2）若OP＝PQ，求PQ的长．

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）连接OQ，由QR为圆O的切线，得到∠OQR为90°，即∠OQB+∠PQR=90°，由OA与OB垂直，根据垂直的定义得到∠BOA=90°，所以∠B+∠BPO=90°，再根据对顶角相等及等角的余角相等，得到∠RPQ=∠RQP，根据“等角对等边”得证；

（2）根据OP=PQ，由“等边对等角”得到∠POQ=∠PQO，又根据半径OB=OQ，再根据“等边对等角”得到∠B=∠BQO，在三角形OBQ中，由∠BOA为直角，设出∠B=∠PQO=∠POQ=x，根据三角形的内角和定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为∠B的度数，又∠RPQ=∠BPO=60°，PR=QR，所以三角形PRQ为等边三角形，所以PQ=QR，在直角三角形OQR中，根据30°的正切函数定义，由OQ=OB=2，即可求出QR的值，从而得到PQ的长．

（1）连接OQ．∵QR是切线，∴∠OQR=90°，∴∠BQO+∠PQR=90°．

∵OA⊥OB，∴∠BOA=90°，∴∠B+∠BPO=90°，又∠BPO=∠RPQ，∴∠B+∠RPQ=90°．

由OB=OQ得：∠B=∠BQO，∴∠RPQ=∠RQP，∴PR=QR；

（2）∵OP=PQ，∴∠POQ=∠PQO，

又OB=OQ，∴∠B=∠PQO，

设∠B=∠PQO=∠POQ=x，又∠BOP=90°，

根据三角形内角和定理得：

∠B+∠BOP+∠POQ+∠PQO=180°，即x+90°+x+x=180°，

解得：x=30°，即∠B=30°，∴∠RPQ=∠BPO=60°，又PR=QR，∴△PQR为等边三角形，即PQ=QR=PR，

在直角三角形OQR中，OQ=OB=2，

根据锐角三角函数定义得：

．