Question

如图，已知A、B、C、D、E是⊙O上五点，⊙O的直径BE=2，∠BCD=120°，A为的中点，延长BA到点P，使BA=AP，连接PE．

（1）求线段BD的长；

（2）求证：直线PE是⊙O的切线．

Answer

（1）3；（2）证明见解析.

【解析】（1）连接DB，如图，利用圆内接四边形的性质得∠DEB=60°，再根据圆周角定理得到∠BDE=90°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系计算BD的长；

（2）连接EA，如图，根据圆周角定理得到∠BAE=90°，而A为的中点，则∠ABE=45°，再根据等腰三角形的判定方法，利用BA=AP得到△BEP为等腰直角三角形，所以∠PEB=90°，然后根据切线的判定定理得到结论．

（1）连接DE，如图，

∵∠BCD+∠DEB=180°，

∴∠DEB=180°﹣120°=60°，

∵BE为直径，

∴∠BDE=90°，

在Rt△BDE中，DE=BE=×2=，

BD=DE=×=3；

（2）证明：连接EA，如图，

∵BE为直径，

∴∠BAE=90°，

∵A为的中点，

∴∠ABE=45°，

∵BA=AP，

而EA⊥BA，

∴△BEP为等腰直角三角形，

∴∠PEB=90°，

∴PE⊥BE，

∴直线PE是⊙O的切线．