Question

已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，DE⊥AB，垂足为E．

（1）延长DE交⊙O于点F，延长DC，FB交于点P，如图1．求证：PC=PB；

（2）过点B作BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，且点O和点A都在DE的左侧，如图2．若AB= ，DH=1，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．

Answer

（1）详见解析；（2）∠BDE=20°．

【解析】

（1）根据已知条件易证BC∥DF，根据平行线的性质可得∠F=∠PBC；再利用同角的补角相等证得∠F=∠PCB，所以∠PBC=∠PCB，由此即可得出结论；（2）连接OD，先证明四边形DHBC是平行四边形，根据平行四边形的性质可得BC=DH=1，在Rt△ABC中，用锐角三角函数求出∠ACB=60°，进而判断出DH=OD，求出∠ODH=20°，再求得∠NOH=∠DOC=40°，根据三角形外角的性质可得∠OAD=∠DOC=20°，最后根据圆周角定理及平行线的性质即可求解．

（1）如图1，∵AC是⊙O的直径，

∴∠ABC=90°，

∵DE⊥AB，

∴∠DEA=90°，

∴∠DEA=∠ABC，

∴BC∥DF，

∴∠F=∠PBC，

∵四边形BCDF是圆内接四边形，

∴∠F+∠DCB=180°，

∵∠PCB+∠DCB=180°，

∴∠F=∠PCB，

∴∠PBC=∠PCB，

∴PC=PB；

（2）如图2，连接OD，

∵AC是⊙O的直径，

∴∠ADC=90°，

∵BG⊥AD，

∴∠AGB=90°，

∴∠ADC=∠AGB，

∴BG∥DC，

∵BC∥DE，

∴四边形DHBC是平行四边形，

∴BC=DH=1，

在Rt△ABC中，AB=，tan∠ACB=，

∴∠ACB=60°，

∴BC=AC=OD，

∴DH=OD，

在等腰△DOH中，∠DOH=∠OHD=80°，

∴∠ODH=20°，

设DE交AC于N，

∵BC∥DE，

∴∠ONH=∠ACB=60°，

∴∠NOH=180°﹣（∠ONH+∠OHD）=40°，

∴∠DOC=∠DOH﹣∠NOH=40°，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠DOC=20°，

∴∠CBD=∠OAD=20°，

∵BC∥DE，

∴∠BDE=∠CBD=20°．