Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ACB与∠CAB的平分线交于点P，PD⊥AB于点D，若△APC与△APD的周长差为，四边形BCPD的周长为12+，则BC等于______．

Answer

6

【解析】

过P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，连接PB，根据已知条件得到PB平分∠ABC，推出矩形CEPF是正方形，设CE=x，得到CF=PE=x，PCx，根据角平分线的性质得到PE=PD，根据全等三角形的性质得到AD=AE，同理BD=BF，根据已知条件即可得到结论．

过P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，连接PB．

∵∠ACB与∠CAB的平分线交于点P，∴PB平分∠ABC．

∵∠ACB=90°，∴四边形CEPF是矩形．

∵CP是∠ACB的角平分线，∴PF=PE，∴矩形CEPF是正方形，∴设CE=x，∴CF=PE=x，PCx．

∵AP是∠CAB的角平分线，∴PE=PD．

∵AP=AP，∴Rt△PAE≌Rt△PAD（HL），∴AD=AE，同理BD=BF．

∵△APC与△APD的周长差为，∴PC，∴CE=CF=PD=1．

∵四边形BCPD的周长为12，∴2BF+PC+PD+CF=12，∴BF5，∴BC=6．

故答案为：6．