Question

如图，在中，，，点从点出发，沿着以每秒的速度向点运动；同时点从点出发，沿以每秒的速度向点运动，设运动时间为秒．

（1）当为何值时，；

（2）是否存在某一时刻，使？若存在，求出此时的长；若不存在，请说理由；

（3）当时，求的值．

Answer

(1)当x＝时，PQ∥BC；(2)存在，AP＝；(3)=.

【解析】

（1）由PQ∥BC，得出比例式，即可求出x的值；

（2）由BA=BC得∠A=∠C．要使△APQ∽△CQB，只需，此时解这个方程就可解决问题．

（3）当CQ=10时，可求出x，从而求出AP，即可求出BP，然后根据两个三角形两底上的高相等时，这两个三角形的面积比等于这两个底的比，就可解决问题；

【解析】
(1)由题可得AP＝4x，CQ＝3x．

∵BA＝BC＝20，AC＝30，

∴BP＝20﹣4x，AQ＝30﹣3x．

若PQ∥BC，

则有△APQ∽△ABC，

∴

∴

解得：x＝．

∴当x＝时，PQ∥BC；

(2)存在．

∵BA＝BC，∴∠A＝∠C．

要使△APQ∽△CQB，

只需

此时

解得：x＝，

∴AP＝4x＝；

(3)当CQ＝10时，3x＝10，

∴x＝，

∴AP＝4x＝，

∴