Question

我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．

（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；

（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想．

Answer

(1)证明见解析；(2)菱形，证明见解析.

【解析】

（1）如图1中，连接BD，根据三角形中位线定理只要证明EH∥FG，EH=FG即可．

（2）四边形EFGH是菱形．先证明△APC≌△BPD，得到AC=BD，再证明EF=FG即可．

（1）如图1中，连接BD．

∵点E，H分别为边AB，DA的中点，∴EH∥BD，EHBD．

∵点F，G分别为边BC，CD的中点，∴FG∥BD，FGBD，∴EH∥FG，EH=GF，∴中点四边形EFGH是平行四边形．

（2）四边形EFGH是菱形．理由如下：

如图2中，连接AC，BD．

∵∠APB=∠CPD，∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，即∠APC=∠BPD．

在△APC和△BPD中，，∴△APC≌△BPD，∴AC=BD．

∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，∴EFAC，FGBD．

∵AC=BD，∴EF=FG．

∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是菱形．