Question

如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．

（1）求证：OE=OF；

（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；

（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．

Answer

【解析】
（1）证明：如图，∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，

∴∠2=∠5，4=∠6。

∵MN∥BC，∴∠1=∠5，3=∠6。

∴∠1=∠2，∠3=∠4。∴EO=CO，FO=CO。

∴OE=OF。

（2）∵∠2=∠5，∠4=∠6，∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°。

∵CE=12，CF=5，∴。

∴OC=EF=6.5。

（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形。理由如下：

当O为AC的中点时，AO=CO，

∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形。

∵∠ECF=90°，∴平行四边形AECF是矩形。

【解析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，进而得出答案。

（2）根据已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°，进而利用勾股定理求出EF的长，即可根据直角三角形斜边上的中线性质得出CO的长。

（3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可。