Question

在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作射线EF，

(1)若∠DAB=60°，EF∥AB交BC于点H，请在图1中补全图形，并直接写出四边形ABHE的形状；

(2)如图2，若∠DAB=90°，EF与AB相交，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG.请在图2中补全图形，并证明点A，E，B，G在同一个圆上；

(3)如图3，若∠DAB=(0°<<90°)，EF与AB相交，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG.请在图3中补全图形(要求：尺规作图，保留作图痕迹)，并求出线段EG、AG、BG之间的数量关系(用含的式子表示)；

Answer

(1)菱形；(2)证明见解析；(3)EG=2AG·sin+BG.

【解析】

(1)根据题目要求画出示意图，根据有一组对边相等是平行四边形是菱形即可判断四边形ABHE的形状.

(2) 连接BE，OG，以BE的中点O为圆心，以OB的长为半径作圆.则

根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得到根据等量代换得到即可证明.

(3) 首先作∠GAH=∠EAB交GE于点H．作AM⊥EG于点M，易证得△ABG≌△AEH，又由∠EAB=α，易得继而证得结论；

(1)如图所示：

四边形ABHE为菱形.

(2)连接BE，OG，以BE的中点O为圆心，以OB的长为半径作圆.则圆O为的外接圆.

则

即

点A，E，B，G在同一个圆上；

(3)如图，作∠GAH=∠EAB交GE于点H.作AM⊥EG于点M，

∴∠GAB=∠HAE.

∵点A，E，B，G在同一个圆上,

∴∠ABG=∠AEH.

在△ABG和△AEH中，

∴△ABG≌△AEH(ASA).

∴BG=EH，AG=AH.

∵∠GAH=∠EAB=α，

∴

∵

∴EG=GH+BG.

∴