Question

如图，在直角坐标系中，半径为1的⊙A圆心与原点O重合，直线l分别交x轴、y轴于点B、C，点B的坐标为（6，0），∠ABC＝60°．

（1）若点P是⊙A上的动点，则P到直线BC的最小距离是　   　．

（2）若点A从原点O出发，以1个单位/秒的速度沿着线路OB→BC→CO运动，回到点O停止运动，⊙A随着点A的运动而移动．设点A运动的时间为t．

①求⊙A在整个运动过程中与坐标轴相切时t的取值；

②求⊙A在整个运动过程中所扫过的图形的面积．

Answer

（1）P到直线BC的最小距离是3﹣1；（2）①t的值是1秒或（6+）秒或16秒或（17+6）秒；②10+33+π.

【解析】

（1）作高线AG，利用点B的坐标为（6，0），根据直角三角形30度角的性质及勾股定理可得AE和PE的长；

（2）①利用切线的性质和特殊三角函数可得对应t的值即可，注意利用数形结合得出．

②利用⊙A在整个运动过程中所扫过的面积＝矩形DROC面积+矩形OYHB面积+矩形BGFC面积+△ABC面积+一个圆的面积﹣△LSK面积，求出即可．

【解析】
（1）如图1，∵点B的坐标为（6，0），

∴OB＝6，

∵∠CAB＝90°，∠ABC＝60°，

过A作AG⊥BC于G，交⊙A于P，此时P到直线BC的距离最小，

∴∠EAB＝30°，

∴BE＝OB＝3，

∴

∵AP＝1，

∴

则P到直线BC的最小距离是；

故答案为：；

（2）①如图2所示：⊙A在整个运动过程中与坐标轴相切有4种不同的情况，

∵∠OCB＝30°，OB＝6，

∴BC＝12，

当⊙O1与y轴相切于点O，可知：t＝OO1＝1；

同理可得：OO4＝1，

此时t＝6+12+﹣1＝17+；

当⊙O2与x轴相切于点T，

∴O2T＝1，∠OBC＝60°，

∴sin60°＝,

∴

∴O2B＝，

∴，

同理可得：当⊙O3与y轴相切时，t＝6+12﹣2＝16；

综上所述，当⊙A在整个运动过程中与坐标轴相切时，t的值是1秒或（）秒或16秒或（17+6）秒；

②如图3所示：当圆分别在O，B，C位置时，作出公切线DR，YH，FG，PW，切点分别为：D，R，H，G，F，P，W

连接CD，CF，BG，过点K作KX⊥BC于点X，PW交BC于点U，

∵PU∥OB，

∴∠OBC＝∠KUX，

∵∠KXU＝∠COB＝90°，

∴△COB∽△KXU，

∵KX＝1，BC＝12，

∴

∴

解得：KU＝，

∵PU∥BO，

∴△CPU∽△COB，

∴

∴

解得：

则

同理可得出：△LSK∽△COB，

∴

∴

解得：

则∠CDR＝∠CFG＝∠BGF＝∠BHY＝∠AYH＝90°，

故⊙A在整个运动过程中所扫过的面积

＝矩形DROC面积+矩形OYHB面积+矩形BGFC面积+△ABC面积+一个圆的面积﹣△LSK面积