Question

如图，抛物线y＝x²﹣2mx+3m与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点D为该抛物线上的一点、且在第二象限内，连接AC，若∠DAB＝∠ACO，求点D的坐标；

（3）若点E为线段OC上一动点，试求2AE+EC的最小值．

Answer

（1）y＝x2+2x﹣3；（2）点D的坐标为（﹣，）；（3）4．

【解析】

（1）把点C的坐标代入抛物线求出m，即可求出解析式；

（2）过D点作x轴的垂线，交x轴于点H，点D的坐标为（n，n 2+2 n﹣3），易知∠DAB =∠ACO ，利用tan∠DAB＝tan∠ACO即可求得n的值，即可求出D点坐标；

（3）根据B，C坐标求出直线BC的解析式为y=-x-3，故∠BCO=45°，则EF＝EC，AE+EC＝AE+EF，故当A、E、F三点共线时，AE+EC最小，即2AE+EC最小，

根据BC⊥AF可设直线AF的表达式为：y＝x+b，代入A点即可求出直线AF，令x=0，可求出E点坐标，即可求出此时2AE+EC的值.

【解析】
（1）把点C的坐标代入抛物线表达式得：9+6m+3m＝0，

解得：m＝﹣1，

故该抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3；

（2）过D点作x轴的垂线，交x轴于点H，过点E作EF⊥BC，交BC于点F，

令y=0，求得A（1,0），B（-3,0）.

设：点D的坐标为（n，n 2+2n﹣3），

∵∠DAB＝∠ACO，

∴tan∠DAB＝tan∠ACO，

即：=，=，

解得：＝或1（舍去m＝1），

故点D的坐标为（，）；

（3）根据B，C坐标求出直线BC的解析式为y=-x-3，

过点E作EF⊥BC，交BC于点F，

则EF＝EC，AE+EC＝AE+EF，

∴当A、E、F三点共线时，AE+EC最小，即2AE+EC最小，

设：直线AF的表达式为：y＝x+b，

将点A坐标（1，0）代入上式，1+b＝0，则b＝﹣1，

则直线AE的表达式为：y＝x﹣1，则点E的坐标为（0，﹣1），

则EC＝3﹣1＝2，AE＝

2AE+EC＝2+2＝4．