Question

如图，菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，点M是AD的中点，点P由点A出发，沿A→B→C→D作匀速运动，到达点D停止，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系的图象大致是（    ）

A.  B.  C.  D.

Answer

A

【解析】

分类讨论：当0≤x≤2，如图1，作PH⊥AD于H，AP=x，根据菱形的性质得∠A=60°，AM=1，则∠APH=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到在RtAH=x，PH=x，然后根据三角形面积公式得y=AM•PH=x；当2＜x≤4，如图2，作BE⊥AD于E，AP+BP=x，根据菱形的性质得∠A=60°，AM=1，AB=2，BC∥AD，则∠ABE=30°，在Rt△ABE中，根据含30度的直角三角形三边的关系得AE=1，PH=，然后根据三角形面积公式得y=AM•BE=；

当4＜x≤6，如图3，作PF⊥AD于F，AB+BC+PC=x，则PD=6-x，根据菱形的性质得∠ADC=120°，则∠DPF=30°，在Rt△DPF中，根据含30度的直角三角形三边的关系得DF=（6-x），PF=DF=（6-x），则利用三角形面积公式得y=AM•PF=-x+，最后根据三个解析式和对应的取值范围对各选项进行判断．

当点P在AB上运动时，即0≤x≤2，如图1，

作PH⊥AD于H，AP=x，

∵菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，点M是AD的中点，

∴∠A=60°，AM=1，

∴∠APH=30°，

在Rt△APH中，AH=AP=x，

PH=AH=x，

∴y=AM•PH=×1×x=x；

当点P在BC上运动时，即2＜x≤4，如图2，

作BE⊥AD于E，AP+BP=x，

∵四边形ABCD为菱形，∠B=120°，

∴∠A=60°，AM=1，AB=2，BC∥AD，

∴∠ABE=30°，

在Rt△ABE中，AE=AB=1，

PH=AE=，

∴y=AM•BE=×1×=；

当点P在CD上运动时，即4＜x≤6，如图3，

作PF⊥AD于F，AB+BC+PC=x，则PD=6-x，

∵菱形ABCD中，∠B=120°，

∴∠ADC=120°，

∴∠DPF=30°，

在Rt△DPF中，DF=DP=（6-x），

PF=DF=（6-x），

∴y=AM•PF=×1×（6-x）=（6-x）=-x+，

∴△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系的图象为三段：当0≤x≤2，图象为线段，满足解析式y=x；当2≤x≤4，图象为平行于x轴的线段，且到x轴的距离为；当4≤x≤6，图象为线段，且满足解析式y=-x+．

故选B．