Question

    在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点P为AB边上的动点（P与A、B不重合），将△BCP沿CP翻折，点B的对应点B₁在矩形外，PB₁交AD于E，CB₁交AD于点F．

（1）如图1，求证：△APE∽△DFC；

（2）如图1，如果EF＝PE，求BP的长；

（3）如图2，连接BB′交AD于点Q，EQ：QF＝8：5，求tan∠PCB．

Answer

（1）见解析；（2）BP＝2.4；（3）tan∠PCB＝.

【解析】

（1）由矩形的性质可得∠A=∠D=∠ABC=∠BCD=90°，由余角的性质和对顶角的性质可得∠DFC=∠APE，即可得结论；
（2）由题意可证△APE≌△B1FE，可得AE=B1E，AP=B1F，即AF=B1P，由折叠的性质可得BP=B1P=a，BC=B1C=4，根据勾股定理可求BP的长．
（3）由折叠的性质和等腰三角形的性质可得∠PB1B=∠PCB，设EQ=8k，QF=5k，可得B1F=5k，EF=EQ+QF=13k，由勾股定理可得B1E=12k，由相似三角形的性质可得EH= ，HQ= ，即可求tan∠PCB．

（1）∵四边形ABCD是矩形

∴∠A＝∠D＝∠ABC＝∠BCD＝90°

∴∠APE+∠AEP＝90°，∠DCF+∠DFC＝90°，

∵折叠

∴∠ABC＝∠PB1C＝90°，

∴∠B1EF+∠B1FE＝90°，

又∵∠B1EF＝∠AEP，∠B1FE＝∠DFC，

∴∠DFC＝∠APE，且∠A＝∠D，

∴△APE∽△DFC

（2）∵PE＝EF，∠A＝∠B1＝90°，∠AEP＝∠B1EF，

∴△APE≌△B1FE（AAS），

∴AE＝B1E，AP＝B1F，

∴AE+EF＝PE+B1E，

∴AF＝B1P，

设BP＝a，则AP＝3﹣a＝B1F，

∵折叠

∴BP＝B1P＝a，BC＝B1C＝4，

∴AF＝a，CF＝4﹣（3﹣a）＝a+1

∴DF＝AD﹣AF＝4﹣a，

在Rt△DFC中，CF2＝DF2+CD2，

∴（a+1）2＝（4﹣a）2+9，

∴a＝2.4

即BP＝2.4

（3）∵折叠

∴BC＝B1C，BP＝B1P，∠BCP＝∠B1CP，

∴CP垂直平分BB1，

∴∠B1BC+∠BCP＝90°，

∵BC＝B1C，

∴∠B1BC＝∠BB1C，且∠BB1C+∠PB1B＝90°

∴∠PB1B＝∠PCB，

∵四边形ABCD是矩形

∴AD∥BC

∴∠B1BC＝∠B1QF，

∴∠B1QF＝∠BB1C，

∴QF＝B1F

∵EQ：QF＝8：5，

∴设EQ＝8k，QF＝5k，

∴B1F＝5k，EF＝EQ+QF＝13k，

在Rt△B1EF中，B1E＝ ＝12k，

如图，过点Q作HQ⊥B1E于点H，

又∵∠PB1C＝90°，

∴HQ∥B1F

∴△EHQ∽△EB1F，

∴==

∴==

∴EH＝，HQ＝

∴B1H＝

∴tan∠PCB＝tan∠PB1B＝＝