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如图,在平面直角坐标系中,过A(-2, 0), C(0, 6)两点的抛物线y=-...

如图,在平面直角坐标系中,过A(2, 0), C(0, 6)两点的抛物线y=-x2axbx轴交于另一点B,点D是抛物线的顶点.

(1)求ab的值;

(2)点Px轴上的一个动点,过P作直线l//AC交抛物线于点Q.随着点P的运动,若以APQC为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出符合条件的点Q的坐标;

(3)在直线AC上是否存在一点M,使BDM的周长最小,若存在,请找出点M并求出点M的坐标.若不存在,请说明理由。

                                         备用图

 

(1)a=2,b=6; (2)Q(4,6),Q或; (3)存在一点M,使△BDM的周长最小 【解析】 试题(1)把点A,C的坐标代入到解析式中,用待定系数法则可以求出a,b的值; (2)设点P(t,0),由于平行四边形顶点的位置不确定,所以需要分类讨论,运用平移的性质,用含t的式子表示出点Q的坐标,把点Q的坐标代入到二次函数的解析式中,求出t,则可以得到点Q的坐标. (3)作点B关于直线AC的对称点B′,连接BB′,交AC于点M,则点M就是所要求的点.过点B′作B′E⊥x轴,利用相似三角形得到B′的坐标,以B′D为直角的斜边构造直角三角形,则可得到M的坐标. 试题解析:(1)根据题意得,把A(-2,0)代入得a=2.所以a=2,b=6. (2)设P(t,0),由(1)得,A(-2,0),C(0,6).根据平移的性质得: ①,,则Q(t+2,6),代入,解得,,(舍),所以Q(4,6). ②,,则Q(t-2,-6),代入,解得,,,所以Q(,-6)或(,-6). ③,,则Q(-t-2,6),代入,解得,(舍). 综上所述,Q(4,6),Q(,-6)或(,-6). (3)设点B关于直线AC的对称点为B′,连结BB′交AC于F. 连结B′D,B′D与AC的交点就是要求的点M. 作B′E⊥x轴于E,那么△BB′E∽△BAF∽△CAO.∵AO=2,CO=6,∴AC=B(6,0),D(2,8). 在Rt△BAF中, 在Rt△BB′E中, . 因为点M在直线y=3x+6上,设点M的坐标为(x, 3x+6). 由,得 . 图2 图3
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A款手机

B款手机

进货价格(元)

1100

1400

销售价格(元)

今年的销售价格

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