Question

如图，在平面直角坐标系中，过A(－2, 0), C(0, 6)两点的抛物线y＝－x²＋ax＋b与x轴交于另一点B，点D是抛物线的顶点．

（1）求a、b的值；

（2）点P是x轴上的一个动点，过P作直线l//AC交抛物线于点Q．随着点P的运动，若以A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点Q的坐标；

(3)在直线AC上是否存在一点M，使△BDM的周长最小，若存在，请找出点M并求出点M的坐标．若不存在，请说明理由。

                                         备用图

Answer

（1）a=2，b=6；

（2）Q(4,6)，Q或；

（3）存在一点M，使△BDM的周长最小

【解析】

试题（1）把点A，C的坐标代入到解析式中，用待定系数法则可以求出a，b的值；

（2）设点P（t，0），由于平行四边形顶点的位置不确定，所以需要分类讨论，运用平移的性质，用含t的式子表示出点Q的坐标，把点Q的坐标代入到二次函数的解析式中，求出t，则可以得到点Q的坐标.

（3）作点B关于直线AC的对称点B′，连接BB′，交AC于点M，则点M就是所要求的点.过点B′作B′E⊥x轴，利用相似三角形得到B′的坐标，以B′D为直角的斜边构造直角三角形，则可得到M的坐标.

试题解析：(1)根据题意得，把A（-2，0）代入得a=2.所以a=2，b=6.

（2）设P（t,0）,由（1）得，A（-2，0），C（0，6）.根据平移的性质得：

①，，则Q（t+2，6），代入，解得，，（舍），所以Q（4，6）.

②，，则Q（t-2，-6），代入，解得，，，所以Q（，-6）或（，-6）.

③，，则Q（-t-2，6），代入，解得，（舍）.

综上所述，Q(4,6)，Q（，-6）或（，-6）.

（3）设点B关于直线AC的对称点为B′，连结BB′交AC于F．

连结B′D，B′D与AC的交点就是要求的点M．

作B′E⊥x轴于E，那么△BB′E∽△BAF∽△CAO．∵AO=2，CO=6，∴AC=B(6，0)，D(2，8).

在Rt△BAF中，

在Rt△BB′E中，

.

因为点M在直线y＝3x＋6上，设点M的坐标为(x, 3x＋6)．

由，得

.

图2 图3