Question

抛物线y＝x²﹣9与x轴交于A、B两点，点P在函数y＝的图象上，若△PAB为直角三角形，则满足条件的点P的个数为(   )

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 6个

Answer

D

【解析】

先由二次函数与一元二次方程的关系求出A、B两点的坐标,然后分类讨论：①当∠PAB=90°时，则P点的横坐标为-3，根据反比例函数图象上点的坐标特征易得P点有1个；②当∠APB=90°，设P（x，），根据两点间的距离公式和勾股定理可得（x+3）2+（）2+（x-3）2+（）2=36，此时P点有4个，③当∠PBA=90°时，P点的横坐标为3，此时P点有1个．

解得，

x=±3,

∴A(-3,0)，B(3,0).

①当∠PAB=90°时，如图1，P点的横坐标为-3，把x=-3代入y=得y=-，所以此时P点有1个；

②当∠APB=90°，如图2，设P（x，），PA2=（x+3）2+（）2，PB2=（x-3）2+（）2，AB2=（3+3）2=36，

∵PA2+PB2=AB2，

∴（x+3）2+（）2+（x-3）2+（）2=36，

整理得x4-9x2+4=0，所以x2=，或x2=，

所以此时P点有4个，

③当∠PBA=90°时，如图3，P点的横坐标为3，把x=3代入y=得y=，所以此时P点有1个；

综上所述，满足条件的P点有6个．

故选：D．