Question

已知关于x函数y＝(2﹣k)x²﹣2x+k

(1)若此函数的图象与坐标轴只有2个交点，求k的值．

(2)求证：关于x的一元二次方程(2﹣k)x²﹣2x+k＝0必有一个根是1．

Answer

(1)2或0或1；(2)证明见解析.

【解析】

（1）分情况讨论：（i）k﹣2＝0时，求出k．（ⅱ）k﹣2≠0时，得到一个二次函数，①抛物线与x轴只有一个交点，△＝4（k﹣1）2，求出k；②抛物线与x轴有两个交点，其中一个交点是（0，0），把（0，0）代入函数解析式，求出k．

（2）设关于x的一元二次方程（2﹣k）x2﹣2x+k＝0的两个实数根分别为x1，x2，根据公式求出方程的解即可得到答案．

(1)【解析】
分情况讨论：

(i)k﹣2＝0时，得k＝2．

此时y＝﹣2x+2与坐标轴有两个交点，符合题意；

(ⅱ)k﹣2≠0时，得到一个二次函数，

①抛物线与x轴只有一个交点，△＝b2﹣4ac＝(﹣2)2﹣4k(2﹣k)＝4(k﹣1)2，

解得k＝1；

②抛物线与x轴有两个交点，其中一个交点是(0，0)，

把(0，0)代入函数解析式，易得k＝0；

故答案为：2或0或1．

(2)证明：设关于x的一元二次方程(2﹣k)x2﹣2x+k＝0的两个实数根分别为x1，x2，

∴，

∴

∴关于x的一元二次方程(2﹣k)x2﹣2x+k＝0必有一个根是1．