Question

如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A'B'CD'的边A'B'与⊙O相切，切点为E，边CD'与⊙O相交于点F，则CF的长为_____．

Answer

4

【解析】

连接OE，延长EO交CD于点G，作OH⊥B′C，由旋转性质知∠B′=∠B′CD′=90°、AB=CD=6，BC=B′C=4，从而得出四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形且OE=OD=OC=3，继而求得CG=B′E=OH=，根据垂径定理可得CF的长．

连接OE，延长EO交CD于点G，作OH⊥B′C于点H，

则∠OEB′=∠OHB′=90°，

∵矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为A′B′C′D′，

∴∠B′=∠B′CD′=90°，AB=CD=6，BC=B′C=4，

∴四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形，OE=OD=OC=3，

∴B′H=OE=3，

∴CH=B′C-B′H=1，

∴CG=B′E=OH=，

∵四边形EB′CG是矩形，

∴∠OGC=90°，即OG⊥CD′，

∴CF=2CG=4，

故答案为：4．