Question

如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过，，三点作圆，点在第一象限部分的圆上运动，连结，过点作的垂线交的延长线于点，下列说法：①；②；③的最大值为10.其中正确的是（   ）

A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③

Answer

C

【解析】

连接AB，由题意得AB为圆的直径，根据同角的余角相等可得∠AOC=∠BOD，根据圆周角定理得∠OCB=∠OAB，可推出∠OBA=∠D，根据勾股定理求出AB，可出sin∠D的值，证出△OCD∽△OAB，则 ，OC取最大值等于直径时CD的值最大.

【解析】
连接AB，

∵∠DOC=90°，∠BOA=90°，

∴∠BOD+∠BOC=90°，∠AOC+∠BOC =90°，

∴∠AOC=∠BOD，①正确；

∵∠DOC=90°，∠BOA=90°，

∴∠OCB+∠D=90°，∠OAB+∠OBA =90°，

∵∠OCB=∠OAB，

∴∠OBA=∠D，

∵OA=2，OB=4，AB= ，

∴sin∠D=sin∠OBA= ，②错误；

∵∠DOC=∠BOA=90°，∠OCB=∠OAB，

∴△OCD∽△OAB，

∴

∵∠BOA=90°，

∴AB为圆的直径，

∴OC取最大值等于直径AB时CD的值最大，

∴CD的最大值 ，③正确.

故选：C.