Question

如图，已知是斜边上的中线，过点作的平行线，过点作的垂线，两线相交于点.

（1）求证：；

（2）若，，求的面积.

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得出CD=AD，进而可得出∠A=∠ACD，由平行线的性质可得出∠CDE=∠ACD=∠A，再结合∠ACB=∠DCE=90°，即可证出△ABC∽△DEC；
（2）在Rt△DCE中，利用勾股定理可求出DE的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出AB的长, 利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．

（1）证明：∵为斜边上的中线，

∴，

∴，

∵，

∴，

又∵，

∴.

（2）【解析】
在中，，，

∴，，

∵为斜边上的中线，

∴，

∵，

∴，即，

∴.

故答案为：（1）证明见解析；（2） .