Question

四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”.

（1）如图1，在四边形中，，，，对角线平分.求证：是四边形的“相似对角线”；

（2）如图2，已知格点，请你在正方形网格中画出所有的格点四边形，使四边形是以为“相似对角线”的四边形；（注：顶点在小正方形顶点处的多边形称为格点多边形）

（3）如图3，四边形中，点在射线：上，点在轴正半轴上，对角线平分，连接.若是四边形的“相似对角线”，，求点的坐标.

Answer

（1）证明见解析；（2）见解析；（3） .

【解析】

（1）由BD平分∠ABC可得∠ABD=∠DBC=50，则∠BDC+∠A=130°，根据∠ADC=130°可得∠ADB=∠C，即可求解；
（2）如图所示，根据两个三角形夹角相等，夹边成比例，则三角形相似，即可求解；
（3）利用△AOC∽△COB，则OA•OB=OC2，而S△AOB= ×OB×yA=×OB×OAsin60°=6，即可求解．

【解析】
（1）∵对角线平分，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴是四边形的“相似对角线”；

（2）如下图所示：
∵∠ABC=∠ACD1=90°，

，

∴△ABC∽△ACD1，
故：以AC为“相似对角线”的四边形有：ABCD1，
同理可得：以AC为“相似对角线”的四边形还有：ABCD2、ABCD3、ABCD4；

（3）如图，作于，于，

∵点在射线：上，

∴，即，

∵对角线平分，

∴，

∵是四边形的“相似对角线”，

∴与相似且不全等，

∴，

∴，

∴，即，

∵，

∴，

∴，，

∴点的坐标为.

故答案为：（1）证明见解析；（2）见解析；（3） .