Question

如图1，抛物线交轴于点和点，交轴于点，一次函数的图象经过点，，点是抛物线上第二象限内一点.

（1）求二次函数和一次函数的表达式；

（2）过点作轴的平行线交于点，作的垂线交于点，设点的横坐标为，的周长为.

①求关于的函数表达式；

②求的周长的最大值及此时点的坐标；

（3）如图2，连接，是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）抛物线为y= -x2-x+4；一次函数的表达式为y=x+4；（2）①关于的函数表达式为，②的周长的最大值为 ，此时点P；（3）点的横坐标为 或.

【解析】

（1）把点A、B、C的坐标代入抛物线或直线表达式，即可求解；
（2）设点P坐标为（t，-t2-t+4），令-t2-t+4=x+4，解得：x= ，PD= ，利用△PDM∽△CBO，即可求解；
（3）分∠PCM=∠CBO、∠PCM=∠BCO，两种情况求解即可．

【解析】
（1）把点和点代入抛物线，

得，解得，∴抛物线为；

令，，解得或，

∴，

把，代入一次函数，

得，解得，∴一次函数的表达式为；

（2）由题意，，，

∴，周长为12，

∵，，

令，解得，

∴，

∵轴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴关于的函数表达式为，

∵，

∴当时，的周长的最大值为，

此时点；

（3）存在，点的横坐标为或.

①如图1，当时，

即，此时，

令，

解得（舍去）或；

②如图2，当时，

即，作点关于直线的对称点，

直线交抛物线于另一点即为所求的点，作轴于.

易得，，得，，

∴点，

可得直线的表达式为，求得点的横坐标为.

故答案为：（1）抛物线为y= -x2-x+4；一次函数的表达式为y=x+4；（2）①关于的函数表达式为，②的周长的最大值为 ，此时点P；（3）点的横坐标为 或.