Question

如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，BD⊥AC，垂足为P．

（1）请作出Rt△ABC的外接圆⊙O；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）点D在⊙O上吗？说明理由；

（3）试说明：AC平分∠BAD．

Answer

（1）作图见解析；（2）在，理由见解析；（3）说明见解析．

【解析】

试题（1）作AB和BC的垂直平分线，两垂直平分线相交于点O，以OB为半径作⊙O即可；

（2）连结OD，先判断AC是⊙O的直径，而∠ADB=90°，根据直角三角形斜边上的中线性质得OD=AC，即OD=OA，于是根据点与圆的位置关系可判断点D在⊙O上；

（3）由于AC是⊙O的直径，BD⊥AC，根据垂径定理得BC=CD，则，然后根据圆周角定理可得∠BAC=∠DAC．

试题解析：（1）如图，⊙O为所作；

（2）点D在⊙O上．理由如下：

连结OD，

∵∠ABC=90°，

∴AC是⊙O的直径，

∵∠ADB=90°，

∴OD=AC，即OD=OA，

∴点D在⊙O上；

（3）∵AC是⊙O的直径，BD⊥AC，

∴BC=CD，

∴

∴∠BAC=∠DAC，

∴AC平分∠BAD．