Question

如图1，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0）、B（0，7）、C（7，0），∠ABC+∠ADC＝180°，BC⊥CD．

（1）求证：∠ABO＝∠CAD；

（2）求四边形ABCD的面积；

（3）如图2，E为∠BCO的邻补角的平分线上的一点，且∠BEO＝45°，OE交BC于点F，求BF的长．

Answer

（1）见解析；（2）50；（3）7.

【解析】

（1）根据四边形的内角和定理、直角三角形的性质证明；

（2）过点A作AF⊥BC于点F，作AE⊥CD的延长线于点E，作DG⊥x轴于点G，证明△ABF≌△ADE、△ABO≌△DAG，得到D点的坐标为（4，﹣3），根据三角形的面积公式计算；

（3）作EH⊥BC于点H，作EG⊥x轴于点G，根据角平分线的性质得到EH＝EG，证明△EBH≌△EOG，得到EB＝EO，根据等腰三角形的判定定理解答．

（1）在四边形ABCD中，

∵∠ABC+∠ADC＝180°，

∴∠BAD+∠BCD＝180°，

∵BC⊥CD，

∴∠BCD＝90°，

∴∠BAD＝90°，

∴∠BAC+∠CAD＝90°，

∵∠BAC+∠ABO＝90°，

∴∠ABO＝∠CAD；

（2）过点A作AF⊥BC于点F，作AE⊥CD的延长线于点E，作DG⊥x轴于点G，如图1

∵B（0，7），C（7，0），

∴OB＝OC，

∴∠BCO＝45°，

∵BC⊥CD，

∴∠BCO＝∠DCO＝45°，

∵AF⊥BC，AE⊥CD，

∴AF＝AE，∠FAE＝90°，

∴∠BAF＝∠DAE，

在△ABF和△ADE中，

，

∴△ABF≌△ADE（AAS），

∴AB＝AD，

同理，△ABO≌△DAG，

∴DG＝AO，BO＝AG，

∵A（﹣3，0）B（0，7），

∴D（4，﹣3），

S四ABCD＝AC•（BO+DG ）＝50；

（3）过点E作EH⊥BC于点H，作EG⊥x轴于点G，如图2

∵E点在∠BCO的邻补角的平分线上，

∴EH＝EG，

∵∠BCO＝∠BEO＝45°，

∴∠EBC＝∠EOC，

在△EBH和△EOG中，

，

∴△EBH≌△EOG（AAS），

∴EB＝EO，

∵∠BEO＝45°，

∴∠EBO＝∠EOB＝67.5°，又∠OBC＝45°，

∴∠BOE＝∠BFO＝67.5°，

∴BF＝BO＝7．