Question

设k是任意实数，讨论关于x的方程|x²﹣1|＝x+k的解的个数．

Answer

答案见解析.

【解析】

先根据x的范围去绝对值，（1）当x＞1或x＜﹣1，方程变为x2﹣x＝1+k，要求方程解的个数就是要二次函数y＝x2﹣x与直线y＝1+k的交点个数，可求出二次函数y＝x2﹣x的顶点（，-），且过（0，0），（1，0）两点，则当1+k＜0，原方程无实根；当1+k≥2，原方程有两个实根；当0≤1+k＜2，原方程有一个实根；当1+k＜0，原方程无实根．（2）当﹣1≤x≤1，方程变为x2+x＝1﹣k，和（1）的解法一样求出k的范围．

【解析】
（1）当x＞1或x＜﹣1，方程变为x2﹣x＝1+k，则方程解的个数就是二次函数y＝x2﹣x与直线y＝1+k的交点个数，二次函数y＝x2﹣x的顶点（，-），且过（0，0），（1，0）两点．

当0≤1+k＜2，即﹣1≤k＜1，二次函数y＝x2﹣x与直线y＝1+k在所在范围有一个交点，所以原方程有一个实根；

当1+k≥2，即k≥1，二次函数y＝x2﹣x与直线y＝1+k在所在范围有两个交点，所以原方程有两个实根；

当1+k＜0，即k＜﹣1，二次函数y＝x2﹣x与直线y＝1+k无交点，所以原方程无实根．

（2）当﹣1≤x≤1，方程变为x2+x＝1﹣k，则方程解的个数就是二次函数y＝x2+x与直线y＝1﹣k的交点个数，二次函数y＝x2+x的顶点（-，-），且过（0，0），（﹣1，0）两点．

当1﹣k＞0，即k＜1，二次函数y＝x2+x与直线y＝1﹣k在所在范围无交点，所以原方程无实根；

当-＜1﹣k≤0，即1≤k＜，二次函数y＝x2+x与直线y＝1﹣k有两个交点，所以原方程有两个实根；

当1﹣k＝-，即k＝，二次函数y＝x2+x与直线y＝1﹣k有一个交点，所以原方程有一个实根；

当1﹣k＜-，即k＞，二次函数y＝x2+x与直线y＝1﹣k没有交点，所以原方程无实根．

所以当k＜﹣或﹣1＜k＜1或k＞时，原方程没有实数根；当k＝﹣或k＝时，原方程只有一个实数根；当-＜k≤﹣1或1≤k＜时，原方程有两个实数根．