Question

如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O．

（1）求证：四边形ADCE是矩形；

（2）若∠AOE＝60°，AE＝2，求矩形ADCE对角线的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）4.

【解析】

（1）先根据四边形ABDE是平行四边形和D为BC的中点判定四边形AECD是平行四边形，再结合AB＝AC，推出∠ADC＝90°，即可得出结论；

（2）根据∠AOE＝60°和矩形的对角线相等且互相平分，得出△AOE为等边三角形，即可求出AO的长，从而得到矩形ADCE对角线的长．

（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，

∴BD＝AE，BD∥AE．

∵D为BC的中点，

∴CD＝BD，

∴CD＝AE．

∴四边形AECD是平行四边形．

又∵AB＝AC，∴∠ADC＝90°，

∴四边形ADCE是矩形．

（2）【解析】
∵四边形ADCE是矩形，

∴AO＝EO，∵∠AOE＝60°

∴△AOE为等边三角形，

∴AO＝AE＝2，

∴AC＝2OA＝4．