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如图,在边长为2的正方形ABCD中,P为AB的中点,Q为边CD上一动点,设DQ=...

如图,在边长为2的正方形ABCD中,PAB的中点,Q为边CD上一动点,设DQ=t0≤t≤2),线段PQ的垂直平分线分别交边ADBC于点MN,过QQE⊥AB于点E,过MMF⊥BC于点F

1)当t≠1时,求证:△PEQ≌△NFM

2)顺次连接PMQN,设四边形PMQN的面积为S,求出S与自变量t之间的函数关系式,并求S的最小值.

 

【解析】 (1)∵四边形ABCD是正方形 ∴∠A=∠B=∠D=90°,AD=AB ∵QE⊥AB,MF⊥BC ∴∠AEQ=∠MFB=90° ∴四边形ABFM、AEQD都是矩形 ∴MF=AB,QE=AD,MF⊥QE 又∵PQ⊥MN ∴∠EQP=∠FMN 又∵∠QEP=∠MFN=90° ∴△PEQ≌△NFM. (2)∵点P是边AB的中点,AB=2,DQ=AE=t ∴PA=1,PE=1-t,QE=2 由勾股定理,得PQ== ∵△PEQ≌△NFM ∴MN=PQ= 又∵PQ⊥MN ∴S===t2-t+ ∵0≤t≤2 ∴当t=1时,S最小值=2. 综上:S=t2-t+,S的最小值为2. 【解析】试题(1)由四边形ABCD是正方形得到∠A=∠B=∠D=90°,AD=AB,又由∠EQP=∠FMN,而证得; (2)分为两种情况:①当E在AP上时,由点P是边AB的中点,AB=2,DQ=AE=t,又由勾股定理求得PQ,由△PEQ≌△NFM得到PQ的值,又PQ⊥MN求得面积S,由t范围得到S的最小值;②当E在BP上时,同法可求S的最小值. 试题解析:(1)∵四边形ABCD是正方形, ∴∠A=∠B=∠D=90°,AD=AB, ∵QE⊥AB,MF⊥BC, ∴∠AEQ=∠MFB=90°, ∴四边形ABFM、AEQD都是矩形, ∴MF=AB,QE=AD,MF⊥QE, 又∵PQ⊥MN, ∴∠1+∠EQP=90°,∠2+∠FMN=90°, ∵∠1=∠2, ∴∠EQP=∠FMN, 又∵∠QEP=∠MFN=90°, ∴△PEQ≌△NFM; (2)分为两种情况:①当E在AP上时, ∵点P是边AB的中点,AB=2,DQ=AE=t, ∴PA=1,PE=1-t,QE=2, 由勾股定理,得PQ=, ∵△PEQ≌△NFM, ∴MN=PQ=, 又∵PQ⊥MN, ∴S=t2-t+, ∵0≤t≤2, ∴当t=1时,S最小值=2. ②当E在BP上时, ∵点P是边AB的中点,AB=2,DQ=AE=t, ∴PA=1,PE=t-1,QE=2, 由勾股定理,得PQ=, ∵△PEQ≌△NFM, ∴MN=PQ=, 又∵PQ⊥MN, ∴S=t2-t+, ∵0≤t≤2, ∴当t=1时,S最小值=2. 综上:S=t2-t+,S的最小值为2.
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如图,已知抛物线yx24x轴交于点AB(点A位于点B的左侧),C为顶点,直线yx+m经过点A,与y轴交于点D

1)求线段AD的长;

2)平移该抛物线得到一条新拋物线,设新抛物线的顶点为C.若新抛物线经过点D,并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC平行于直线AD,求新抛物线对应的函数表达式.

 

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如图1,AB为半圆O的直径,半径的长为4cm,点C为半圆上一动点,过点C作CEAB,垂足为点E,点D为弧AC的中点,连接DE,如果DE=2OE,求线段AE的长.

小何根据学习函数的经验,将此问题转化为函数问题解决.

小华假设AE的长度为xcm,线段DE的长度为ycm.

(当点C与点A重合时,AE的长度为0cm),对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行探究.

下面是小何的探究过程,请补充完整:(说明:相关数据保留一位小数).

(1)通过取点、画图、测量,得到了x与y的几组值,如下表:

x/cm

0

1

2

3

4

5

6

7

8

y/cm

0

1.6

2.5

3.3

4.0

4.7

     

5.8

5.7

 

当x=6cm时,请你在图中帮助小何完成作图,并使用刻度尺度量此时线段DE的长度,填写在表格空白处:

(2)在图2中建立平面直角坐标系,描出补全后的表中各组对应值为坐标的点,画出该函数的图象

(3)结合画出的函数图象解决问题,当DE=2OE时,AE的长度约为     cm.

 

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如图,AB是⊙O的直径,AD是⊙O的弦,点FDA延长线上的一点,过⊙O上一点C作⊙O的切线交DF于点ECEDF

(1)求证:AC平分∠FAB

(2)AE1CE2,求⊙O的半径.

 

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体育老师为了解本校九年级女生1分钟仰卧起坐体育测试项目的达标情况,从该校九年级136名女生中,随机抽取了20名女生,进行了1分钟仰卧起坐测试,获得数据如下:

收集数据:抽取20名女生的1分钟仰卧起坐测试成绩(个)如下:

  38      46      42      52      55        43       59      46      25       38

  35      45      51      48      57        49       47       53     58       49

(1)整理、描述数据:请你按如下分组整理、描述样本数据,把下列表格补充完整:

 范围

25≤x≤29

30≤x≤34

35≤x≤39

40≤x≤44

45≤x≤49

50≤x≤54

55≤x≤59

 人数

     

     

     

     

     

     

     

 

(说明:每分钟仰卧起坐个数达到49个及以上时在中考体育测试中可以得到满分)

(2)分析数据:样本数据的平均数、中位数、满分率如下表所示:

 平均数

 中位数

 满分率

46.8

47.5

45%

 

得出结论:①估计该校九年级女生在中考体育测试中1分钟仰卧起坐项目可以得到满分的人数为     

②该中心所在区县的九年级女生的1分钟仰卧起坐总体测试成绩如下:

 平均数

 中位数

 满分率

45.3

49

51.2%

 

请你结合该校样本测试成绩和该区县总体测试成绩,为该校九年级女生的1分钟仰卧起坐达标情况做一下评估,并提出相应建议.

 

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如图,在ABC中,ABACD为边BC的中点,四边形ABDE是平行四边形,ACDE相交于点O

1)求证:四边形ADCE是矩形;

2)若∠AOE60°AE2,求矩形ADCE对角线的长.

 

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