Question

已知直线l经过A(6，0)和B(0，12)两点，且与直线y＝x交于点C，点P(m，0)在x轴上运动．

(1)求直线l的解析式；

(2)过点P作l的平行线交直线y＝x于点D，当m＝3时，求△PCD的面积；

(3)是否存在点P，使得△PCA成为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

(1)y＝﹣2x+12；(2)S△PCD＝3；(3)存在，P点坐标为(1，0)或(6+2，0)或(6﹣2，0)或(2，0)．

【解析】

（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法即可求得直线l的解析式；

（2）联立直线l和直线y＝x，可求得C点坐标，由条件可求得直线PD的解析式，同理可求得D点坐标，则可分别求得△POD和△POC的面积，则可求得△PCD的面积；

（3）由P、A、C的坐标，可分别表示出PA、PC和AC的长，由等腰三角形的性质可得到关于m的方程，则可求得m的值，则可求得P的坐标．

【解析】
(1)设直线l解析式为y＝kx+b，

把A、B两点坐标代入可得，解得，

∴直线l解析式为y＝﹣2x+12；

(2)解方程组，可得，

∴C点坐标为(4，4)，

设PD解析式为y＝﹣2x+n，把P(3，0)代入可得0＝﹣6+n，解得n＝6，

∴直线PD解析式为y＝﹣2x+6，

解方程组，可得，

∴D点坐标为(2，2)，

∴S△POD＝×3×2＝3，S△POC＝×3×4＝6，

∴S△PCD＝S△POC﹣S△POD＝6﹣3＝3；

(3)∵A(6，0)，C(4，4)，P(m，0)，

∴PA2＝(m﹣6)2＝m2﹣12m+36，

PC2＝(m﹣4)2+42＝m2﹣8m+32，

AC2＝(6﹣4)2+42＝20，

当△PAC为等腰三角形时，则有PA＝PC、PA＝AC或PC＝AC三种情况，

①当PA＝PC时，则PA2＝PC2，即m2﹣12m+36＝m2﹣8m+32，

解得m＝1，此时P点坐标为(1，0)；

②当PA＝AC时，则PA2＝AC2，即m2﹣12m+36＝20，

解得m＝6+2或m＝6﹣2，此时P点坐标为(6+2，0)或(6﹣2，0)；

③当PC＝AC时，则PC2＝AC2，即m2﹣8m+32＝20，解得m＝2或m＝6，当m＝6时，P与A重合，舍去，此时P点坐标为(2，0)；

综上可知存在满足条件的点P，其坐标为(1，0)或(6+2，0)或(6﹣2，0)或(2，0)．