Question

已知如图1，线段AB、CD相交于点O，连结AC、BD，我们把形如图1的图形称之为“8字形”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥聪明才智，解决以下问题：

(1)在图1中，请写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系，并说明理由；

(2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数有_____个；

(3)在图2中，若∠B＝76°，∠C＝80°，∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，利用(1)中的结论，试求∠P的度数；

(4)在图3中，如果∠B和∠C为任意角，并且AP和DP分别是∠CAB和∠BDC的三等分线，即

∠PAO＝∠CAO， ∠BDP＝∠BDO，那么∠P与∠C、∠B之间存在的数量关系是_______(直接写出结论即可)．

Answer

(1) ∠A+∠C=∠B+∠D；证明见解析；（2）6；（3）78°；（4）∠P=

【解析】

（1）利用三角形的内角和定理表示出∠AOD与∠BOC，再根据对顶角相等可得∠AOD=∠BOC，然后整理即可得解；

（2）根据“8字形”的结构特点，根据交点写出“8字形”的三角形，然后确定即可；

（3）根据（1）的关系式求出∠OCB-∠OAD，再根据角平分线的定义求出∠DAM-∠PCM，然后利用“8字形”的关系式列式整理即可得解；

（4），由（3）可得结论.

（1）在△AOC中，∠AOC=180°-∠A-∠C，

在△DOB中，∠BOD=180°-∠D-∠B，

∵∠AOC=∠BOD

∴180°-∠A-∠C=180°-∠D-∠B

∴∠A+∠C=∠B+∠D

（2）交点有点M、N各有1个，交点O有4个，所以，“8字形”图形共有6个；

（3）∵∠B＝76°，∠C＝80°，

∴∠OAC+80°=∠ODB+76°，

∴∠ODB-∠OAC =4°，

∵AP、DP分别是∠CAO、∠BDO的角平分线

∴∠CAM=∠CAO,∠PDO=∠BDO

又∵∠CAM+∠C=∠PDO+∠P

∴∠P=∠CAM+∠C-∠PDO=(∠CAO-∠BDO)+∠C=-2°+80°=78°

（4）由（3）可知∠P=∠CAM+∠C-∠PDO，

当AP和DP分别是∠CAB和∠BDC的三等分线时，则有

∠CAM=∠CAO,∠PDO=∠BDO

∴∠P=(∠CAO-∠BDO)+∠C,

又∵由（3）知∠CAO-∠BDO=∠B-∠C

∴∠P=∠B-∠C+∠C=∠B+∠C