Question

（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明:∠A+∠B=∠C +∠D．

（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：

(①)如图2， AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，求∠P的度数．

(②)如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想∠P的度数，并说明理由.

(③)如图4中，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论，无需说明理由．

    

Answer

(1)见解析;(2)(①)26°;(②)26°(③) ∠P=180°-（∠B+∠D）.

【解析】

（1）根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得证；
（2）(①)根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据（1）的结论列出整理即可得解；

(②)表示出∠PAD和∠PCD，再根据（1）的结论列出等式并整理即可得解；

(③)根据四边形的内角和等于360°可得（180°-∠1）+∠P+∠4+∠B=360°，∠2+∠P+（180°-∠3）+∠D=360°，然后整理即可得解；

【解析】
（1）∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180゜，
∴∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD，
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A+∠B=∠C+∠D；

(2)【解析】
(①)∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD
∴∠1=∠2，∠3=∠4
由（1）的结论得：
①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D
∴∠P=（∠B+∠D）=26°．

(②)∠P=26゜．
∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4
由（1）的结论得：∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ①，∠PAB+∠P=∠PCB+∠B ②，
∵∠PAB=∠1，∠1=∠2，
∴∠PAB=∠2，
∴∠2+∠P=∠3+∠B ③，
①+③得∠2+∠P+∠PAD+∠P=∠3+∠B+∠PCD+∠D，即2∠P+180°=∠B+∠D+180°，
∴∠P=(∠B+∠D ）=26°．

(③)如图4，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴（180°-2∠1）+∠B=（180°-2∠4）+∠D，
在四边形APCB中，（180°-∠1）+∠P+∠4+∠B=360°，
在四边形APCD中，∠2+∠P+（180°-∠3）+∠D=360°，
∴2∠P+∠B+∠D=360°，
∴∠P=180°-（∠B+∠D）.