Question

如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且ED⊥DB，FB⊥BD．

(1)求证：△AED≌△CFB；

(2)若∠A＝30°，∠DEB＝45°，求证：DA＝DF．

Answer

证明见解析

【解析】

试题（1）由平行四边形的性质得到对边平行且相等，对角相等，再由垂直的定义得到一对直角相等，利用等式的性质等到一对角相等，利用ASA即可得证；

（2）过点D作DH⊥AB，在Rt△ADH中，有AD=2DH，在Rt△DEB中，有EB=2DH，易得四边形EBFD为平行四边形，利用平行四边形的对边相等得到EB=DF，等量代换即可得证.

试题解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=CB，∠A=∠C，AD//CB，

∴∠ADB=∠CBD，

∵ED⊥DB，FB⊥BD，∴∠EDB=∠FBD=90°，∴∠ADE=∠CBF，

在△AED和△CFB中，∠ADE=∠CBD，AD=BC，∠A=∠C，∴△AED≌△CFB（ASA）；

（2）作DH⊥AB，垂足为H，

在R t△ADH在，∠A=30°，∴AD=2DH，

在Rt△DEB中，∠DEB=45°，∴EB=2DH，

∵∠EDB=∠FBD=90°，∴DE//BF，又∵DC//AB，∴四边形DEBF是平行四边形，

∴FD=BE，∴DA=DF.