Question

如图，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于一点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE＝CB．

⑴求证：BC为⊙O的切线；

⑵若AB=2，AD＝2，求线段BC的长．

Answer

【解析】

试题（1）因为BC经过圆的半径的外端，只要证明AB⊥BC即可．连接OE、OC，利用△OBC≌△OEC，得到∠OBC=90°即可证明BC为⊙O的切线．

（2）作DF⊥BC于点F，构造Rt△DFC，利用勾股定理解答即可．

试题解析：（1）证明：连接OE、OC．

∵CB=CE，OB=OE，OC=OC，

∴△OBC≌△OEC．

∴∠OBC=∠OEC．

又∵DE与⊙O相切于点E，

∴∠OEC=90°．

∴∠OBC=90°．

∴BC为⊙O的切线．

（2）【解析】
过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，BF=AD=2，DF=AB=2．

∵AD、DC、BC分别切⊙O于点A、E、B，

∴DA=DE，CE=CB．

设BC为x，则CF=x﹣2，DC=x+2．

在Rt△DFC中，（x+2）2﹣（x﹣2）2=（2）2，解得x=．

∴BC=．