Question

某商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每周可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每周就会少卖出5件，但每件售价不能高于50元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每周的销售利润为y元．

（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；

（2）每件商品的售价为多少元时，每周可获得最大利润？最大利润是多少？

（3）每件商品的售价定为多少元时，每周的利润恰好是2145元？

Answer

（1）y＝﹣5x2+130x+1800（0≤x≤15） （2）53元，2645元（3）43元

【解析】

（1）根据销售利润=每件的利润·销售数量，构建函数关系即可．
（2）利用二次函数的性质即可解决问题．
（3）列出方程，解方程即可解决问题．

【解析】
（1）由题意得：

y＝（40+x﹣30）（180﹣5x）＝﹣5x2+130x+1800（0≤x≤15）

∵180﹣5x＞0,且40+x≤55,x＞0，

∴0≤x≤15.

（2）对称轴：x＝﹣＝﹣＝13，

∵13＜15，a＝﹣5＜0，

∴在对称轴左侧，y随x增大而增大，

∴当x＝13时，y最大值＝﹣5×132+130×13+1800＝2645，

∴售价＝40+13＝53元

答：当售价为53元时，可获得最大利润2645元．

（3）由题意得：﹣5x2+130x+1800＝2145

解之得：x＝3或23（不符合题意，舍去）

∴售价＝40+3＝43元．

答：售价为43元时，每周利润为2145元．