Question

如图，抛物线的顶点为C（﹣1，﹣1），且经过点A、点B和坐标原点O，点B的横坐标为﹣3．

（1）求抛物线的解析式．

（2）求点B的坐标及△BOC的面积．

（3）若点D为抛物线上的一点，点E为对称轴上的一点，且以点A、O、D、E为顶点的四边形为平行四边形，请在左边的图上标出D和E的位置，再直接写出点D的坐标．

Answer

（1）y＝（x+1）2﹣1 （2）（﹣3，3），3 （3）答案见解析

【解析】

（1）根据顶点坐标设出抛物线的顶点解析式，将原点坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线的解析式.

（2）根据点B的横坐标，代入抛物线解析式求得点B坐标；过点B作BM⊥y轴于点M，过点C作CN⊥y轴于点N，构建一个直角梯形，进而求出△BOC的面积．

（3）根据题意分三种情况考虑，D在第一象限，第二象限以及第三象限，利用平行四边形的性质和坐标与图形的性质求出D的坐标即可.

【解析】
（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）2﹣1，

将点O（0，0）代入，得：a﹣1＝0，

解得：a＝1，

则抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣1；

（2）当x＝﹣3时，y＝3，

所以点B坐标为（﹣3，3），

如图1，过点B作BM⊥y轴于点M，过点C作CN⊥y轴于点N，

则BM＝OM＝3，CN＝ON＝1，

∴MN＝4，

则S△BOC＝S梯形BMNC﹣S△BOM﹣S△CON

＝×（1+3）×4﹣×3×3﹣×1×1

＝3；

（3）如图2所示，

分三种情况考虑：

当D1在第一象限时，若四边形AOD1E1为平行四边形，

∴AO＝E1D1＝2，

∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1，

∴D1横坐标为1，

将x＝1代入抛物线y＝x2+2x＝1+2＝3，即D1（1，3）；

当D2在第二象限时，同理D2（﹣3，3）；

当D3在第三象限时，若四边形AE2OD3为平行四边形，此时D3与C重合，即D3（﹣1，﹣1）；

综上，点D的坐标为（1，3）或（﹣3，3）或（﹣1，﹣1）．