Question

已知AB为⊙O的直径，BC⊥AB于B，且BC=AB，D为半圆⊙O上的一点，连接BD并延长交半圆⊙O的切线AE于E．

（1）如图1，若CD=CB，求证：CD是⊙O的切线；

（2）如图2，若F点在OB上，且CD⊥DF，求的值．

Answer

（1）证明见解析；（2） =1.

【解析】

试题（1）连接DO，CO，易证△CDO≌△CBO，即可解题；（2）连接AD，易证△ADF∽△BDC和△ADE∽△BDA，根据相似三角形对应边比例相等的性质即可解题．

试题解析：（1）连接DO，CO，

∵BC⊥AB于B，∴∠ABC=90°，

在△CDO与△CBO中，，

∴△CDO≌△CBO，∴∠CDO=∠CBO=90°，∴OD⊥CD，

∴CD是⊙O的切线；

（2）连接AD，

∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADF+∠BDF=90°，∠DAB+∠DBA=90°，

∵∠BDF+∠BDC=90°，∠CBD+∠DBA=90°，∴∠ADF=∠BDC，∠DAB=∠CBD，

∵在△ADF和△BDC中，，∴△ADF∽△BDC，

∴，∵∠DAE+∠DAB=90°，∠E+∠DAE=90°，∴∠E=∠DAB，

∵在△ADE和△BDA中，，∴△ADE∽△BDA，

∴，∴，即=，

∵AB=BC，∴=1．