Question

如图，AB为⊙O的直径，且AB＝4，点C在半圆上，OC⊥AB，垂足为点O，P为半圆上任意一点，过P点作PE⊥OC于点E，设△OPE的内心为M，连接OM、PM．当点P在半圆上从点B运动到点A时，内心M所经过的路径长为_____．

Answer

【解析】

根据三角形内心的性质可求得∠PMO=135°，再由全等三角形的判定和性质可得∠CMO＝135°，过C、M、O三点作⊙O′，连O′C，O′O，在优弧CO取点D，连DC，DO，在等腰直接三角形中求得O′O，从而求得弧OMC，同理可求得弧ONC，从而求得点M所经过的路径.

【解析】
∵△OPE的内心为M，

∴∠MOP＝∠MOC，∠MPO＝∠MPE，

∴∠PMO＝180°﹣∠MPO﹣∠MOP＝180°﹣（∠EOP+∠OPE），

∵PE⊥OC，即∠PEO＝90°，

∴∠PMO＝180°﹣×（∠EOP+∠OPE）＝180°﹣×（180°﹣90°）＝135°，

如图，连接OC，

∵OP＝OC，OM＝OM，

而∠MOP＝∠MOC，

∴△OPM≌△OCM（SAS），

∴∠CMO＝∠PMO＝135°，

所以点M在以OC为弦，并且所对的圆周角为135°的两段劣弧上（弧OMC和弧ONC）；

点M在扇形BOC内时，

过C、M、O三点作⊙O′，连O′C，O′O，

在优弧CO取点D，连DC，DO，

∵∠CMO＝135°，

∴∠CDO＝180°﹣135°＝45°，

∴∠CO′O＝90°，而OA＝2cm，

∴O′O＝OC＝×2＝，

∴弧OMC的长＝cm，

同理：点M在扇形AOC内时，同①的方法得，弧ONC的长为cm，

所以内心M所经过的路径长为2×＝πcm．

故答案为：πcm．