Question

如图，抛物线y＝ax²﹣1（a＞0）与直线y＝kx+3交于MN两点，在y轴负半轴上存在一定点P，使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称，则点P的坐标是_____

Answer

(0,-5)

【解析】

根据题意设M（xM，kxM+3），N（xN，kxN+3），P（0，t），然后根据抛物线与直线的交点得出一元二次方程，然后由根与系数的关系求得xM+xN＝，xM×xN＝﹣，再由相似三角形的判定和性质求得t，继而求得点P的坐标.

如图作MB⊥y轴，NA⊥y轴

∵M，N是直线y＝kx+3的点

∴设M（xM，kxM+3），N（xN，kxN+3），P（0，t）

∵抛物线y＝ax2﹣1（a＞0）与直线y＝kx+3交于MN两点

∴ax2﹣1＝kx+3

ax2﹣kx﹣4＝0

∴xM+xN＝，xM×xN＝﹣，

∵直线PM与PN总是关于y轴对称

∴∠MPA＝∠NPA，且∠MBP＝∠NAP＝90°

∴△MBP∽△NAP，

∴即 ，

∴（﹣xM﹣xN）（3﹣t）＝2kxMxN

∴﹣（3﹣t）＝2k×（-），

∴t＝﹣5

∴P（0，﹣5）.

故答案为（0，﹣5）