Question

如图，在Rt△ABO中，∠BAO＝90°，AO＝AB，BO＝8，点A的坐标（﹣8，0），点C在线段AO上以每秒2个单位长度的速度由A向O运动，运动时间为t秒，连接BC，过点A作AD⊥BC，垂足为点E，分别交BO于点F，交y轴于点 D．

（1）用t表示点D的坐标　   　；

（2）如图1，连接CF，当t＝2时，求证：∠FCO＝∠BCA；

（3）如图2，当BC平分∠ABO时，求t的值．

Answer

（1）（0，2t）；（2）见解析；（3）t=4（﹣1）

【解析】

（1）由已知条件可证明△ABC≌△OAD，根据全等三角形的性质即可求出点D的坐标；

（2）由（1）的结论可证明△FOD≌△FOC，从而∠FCO＝∠FDO，再根据（1）中△ABC≌△OAD，可得∠ACB＝∠ADO，进而∠FCO＝∠ACB得证；

（3）在AB上取一点K，使得AK＝AC，连接CK．设AK＝AC＝m，则CK＝m，根据角平分线的性质和三角形外角和定理可得KB＝KC＝m，从而求得m的值，进而t的值也可求出.

【解析】
（1）∵AD⊥BC，

∴∠AEB＝90°＝∠BAC＝∠AOD，

∴∠ABC+∠BAE＝90°，∠BAE+∠OAD＝90°，

∴∠ABC＝∠OAD，

∵AB＝OA，

∴△ABC≌△OAD（ASA），

∴OD＝AC＝2t，

∴D（0，2t）．

故答案为（0，2t）；

（2）如图1中，

∵AB＝AO，∠BAO＝90°，OB＝，

∴AB＝AO＝8，

∵t＝2，

∴AC＝OD＝4，

∴OC＝OD＝4，

∵OF＝OF，∠FOD＝∠FOC，

∴△FOD≌△FOC（SAS），

∴∠FCO＝∠FDO，

∵△ABC≌△OAD，

∴∠ACB＝∠ADO，

∴∠FCO＝∠ACB；

（3）如图2中，在AB上取一点K，使得AK＝AC，连接CK．设AK＝AC＝m，则CK＝m．

∵CB平分∠ABO，

∴∠ABC＝22.5°，

∵∠AKC＝45°＝∠ABC+∠KCB，

∴∠KBC＝∠KCB＝22.5°，

∴KB＝KC＝m，

∴m+m＝8，

∴m＝8（），

∴t＝＝4（﹣1）．