Question

如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B、C重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点C′处；作∠BPC′的角平分线交AB于点E．设BP＝x，BE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（　　）

A.  B.  C.  D.

Answer

D

【解析】

连接DE，根据折叠的性质可得∠CPD＝∠C′PD，再根据角平分线的定义可得∠BPE＝∠C′PE，然后证明∠DPE＝90°，从而得到△DPE是直角三角形，再分别表示出AE、CP的长度，然后利用勾股定理进行列式整理即可得到y与x的函数关系式，根据函数所对应的图象即可得解．

如图，连接DE，

∵△PC′D是△PCD沿PD折叠得到，

∴∠CPD＝∠C′PD，

∵PE平分∠BPC′，

∴∠BPE＝∠C′PE，

∴∠EPC′+∠DPC′＝×180°＝90°，

∴△DPE是直角三角形，

∵BP＝x，BE＝y，AB＝3，BC＝5，

∴AE＝AB﹣BE＝3﹣y，CP＝BC﹣BP＝5﹣x，

在Rt△BEP中，PE2＝BP2+BE2＝x2+y2，

在Rt△ADE中，DE2＝AE2+AD2＝（3﹣y）2+52，

在Rt△PCD中，PD2＝PC2+CD2＝（5﹣x）2+32，

在Rt△PDE中，DE2＝PE2+PD2，

则（3﹣y）2+52＝x2+y2+（5﹣x）2+32，

整理得，﹣6y＝2x2﹣10x，

所以y＝﹣x2+x（0＜x＜5），

纵观各选项，只有D选项符合．

故选D．