Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，过点C作AB的平行线交AE的延长线于点F，连接BF．

（1）求证：四边形BDCF是菱形；

（2）当Rt△ABC中的边或角满足什么条件时？四边形BDCF是正方形，请说明理由．

Answer

（1）见解析；（2）当AC＝BC时，四边形BDCF是正方形，理由见解析.

【解析】

（1）由“AAS”可证△CEF≌△DEA，可得CF＝AD，由直角三角形的性质可得CD＝AD＝BD＝CF，由菱形的判定可证四边形BDCF是菱形；

（2）由等腰三角形的性质可得CD⊥AB，即可证四边形BDCF是正方形．

（1）∵CF∥AB

∴∠CFA＝∠BAF，∠ADC＝∠FCD，且CE＝DE

∴△CEF≌△DEA（AAS）

∴CF＝AD，

∵CD是Rt△ABC的中线

∴CD＝AD＝BD

∴CF＝BD，且CF∥AB

∴四边形BDCF是平行四边形，且CD＝BD

∴四边形BDCF是菱形

（2）当AC＝BC时，四边形BDCF是正方形，

理由如下：∵AC＝BC，CD是中线

∴CD⊥AB，且四边形BDCF是菱形

∴四边形BDCF是正方形．