Question

如图1，平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax²+4x与x轴交于O、A两点．直线y＝kx+m经过抛物线的顶点B及另一点D（D与A不重合），交y轴于点C．

（1）当OA＝4，OC＝3时．

①分别求该抛物线与直线BC相应的函数表达式；

②连结AC，分别求出tan∠CAO、tan∠BAC的值，并说明∠CAO与∠BAC的大小关系；

（2）如图2，过点D作DE⊥x轴于点E，连接CE．当a为任意负数时，试探究AB与CE的位置关系？

Answer

（1）①y＝﹣x2+4x，y＝x+3；②∠CAO＞∠BAC；（2）AB∥CE，理由见解析.

【解析】

（1）①根据题意得出A、C的坐标，由A的坐标可求出抛物线解析式及其顶点B坐标，根据B、C坐标可得直线解析式；
②tan∠CAO=，先根据勾股定理逆定理判定△ABC是直角三角形，再根据tan∠BAC=可得答案；
（2）根据y=ax2+4x求得A（-，0）、B（-，-），先求得tan∠BAO=2，再将B（-，-）代入y=kx+m得m=，据此知点C（0，），由可求得E（，0），根据tan∠CEO==2知∠BAO=∠CEO，从而得出答案．

（1）①∵OA＝4，OC＝3，

∴A（4，0），C（0，3），

将A（4，0）代入y＝ax2+4x，得：16a+16＝0，

解得a＝﹣1，

则y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，

∴B（2，4），

将B（2，4），C（0，3）代入y＝kx+m，得：，

解得，

∴y＝x+3；

②tan∠CAO＝，

∵AC2＝（0﹣4）2+（3﹣0）2＝25，BC2＝（2﹣0）2+（4﹣3）2＝5，AB2＝（2﹣4）2+（4﹣0）2＝20，

∴AC2＝BC2+AB2，且BC＝，AB＝2，

∴△ABC是直角三角形，其中∠ABC＝90°，

则tan∠BAC＝，

∵tan∠CAO＞tan∠BAC，

∴∠CAO＞∠BAC．

（2）AB∥CE，理由如下：

由y＝ax2+4x＝0得x1＝0，x2＝﹣，则A（﹣，0），

又y＝ax2+4x＝a（x+）2﹣，

∴顶点B的坐标为（﹣，﹣），

则tan∠BAO＝，

将B（﹣，﹣）代入y＝kx+m，得：﹣+m＝﹣，

解得m＝，

∴点C（0，），即OC＝，

由得x＝﹣或x＝，

∴E（，0），

∴OE＝，

∴tan∠CEO＝，

∴tan∠BAO＝tan∠CEO，

∴∠BAO＝∠CEO，

∴AB∥CE．