Question

如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点C在x轴的负半轴上，点A在y轴正半轴上，矩形OABC的面积为8．把矩形OABC沿DE翻折，使点B与点O重合，点C落在第三象限的G点处，作EH⊥x轴于H，过E点的反比例函数y＝图象恰好过DE的中点F．则k＝_____，线段EH的长为：_____．

Answer

-2 2

【解析】

连接BO与ED交于点Q，过点Q作QG⊥x轴，垂足为G，可通过三角形全等证得BO与ED的交点就是ED的中点F，由相似三角形的性质可得S△OGF＝S△OCB，根据反比例函数比例系数的几何意义可求出k，从而求出S△OAE，进而可以得到AB＝4AE，即BE＝3AE．由轴对称的性质可得OE＝BE，从而得到OE＝3AE，也就有AO＝2AE，根据△OAE的面积可以求出AE，OA的值．易证四边形OAEH为矩形，从而得到EH＝OA，就可求出EH的值．

【解析】
连接BO与ED交于点Q，过点Q作QN⊥x轴，垂足为N，如图所示，

∵矩形OABC沿DE翻折，点B与点O重合，

∴BQ＝OQ，BE＝EO．

∵四边形OABC是矩形，

∴AB∥CO，∠BCO＝∠OAB＝90°．

∴∠EBQ＝∠DOQ．

在△BEQ和△ODQ中，

．

∴△BEQ≌△ODQ（ASA）．

∴EQ＝DQ．

∴点Q是ED的中点．

∵∠QNO＝∠BCO＝90°，

∴QN∥BC．

∴△ONQ∽△OCB．

∴．

∴S△ONQ＝ S△OCB．

∵S矩形OABC＝8，

∴S△OCB＝S△OAB＝4．

∴S△ONQ＝．

∵点F是ED的中点，

∴点F与点Q重合．

∴S△ONF＝．

∵点F在反比例函数y＝上，

∴＝．

∵k＜0，

∴k＝﹣2．

∴S△OAE＝＝．

∵S△OAB＝4，

∴AB＝4AE．

∴BE＝3AE．

由轴对称的性质可得：OE＝BE．

∴OE＝3AE．OA＝＝2AE．

∴S△OAE＝AO•AE＝×2AE×AE＝．

∴AE＝1．

∴OA＝2×1＝2．

∵∠EHO＝∠HOA＝∠OAE＝90°，

∴四边形OAEH是矩形．

∴EH＝OA＝2．

故答案分别为：﹣2、2．