Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx﹣4k+4与抛物线y＝x²﹣x交于A、B两点．

（1）直线总经过定点，请直接写出该定点的坐标；

（2）点P在抛物线上，当k＝﹣时，解决下列问题：

①在直线AB下方的抛物线上求点P，使得△PAB的面积等于20；

②连接OA，OB，OP，作PC⊥x轴于点C，若△POC和△ABO相似，请直接写出点P的坐标．

Answer

（1）；（2）①P点坐标为，；② ，，，．

【解析】

（1）直线方程化为y＝k（x－4）＋4，对于任意k点总有一个坐标能满足；（2）作PQ∥y轴，求出PQ，再由S△PAB等于20，根据三角形面积计算公式即可求出相应的坐标；AO＝，BO＝，AB＝，再根据勾股定理和相似三角形的定义即可求出，进而可求得P3和P4的值.

⑴ ；

直线方程化为，显然，对于任意的k，点的坐标总能满足直线方程．

⑵ 当时，直线方程为．

联立方程组解得，．

① 如图1，作∥轴，交AB于点Q，则

．

。

令，即，解得当或4，相应的P点坐标为，；

② ，，，．

，，．

∵，∴．

（i）△POC∽△ABO时，．

即．解得，，

得，；

（ii）△POC∽△BAO时，．

即．解得，．

得，．