Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+b与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线y＝ax²﹣4ax+4经过点A和点B，并与x轴相交于另一点C，对称轴与x轴相交于点 D．

（1）求抛物线的表达式；

（2）求证：△BOD∽△AOB；

（3）如果点P在线段AB上，且∠BCP＝∠DBO，求点P的坐标．

Answer

（1）y＝﹣x2+x+4（2）证明见解析（3）（，）

【解析】

（1）利用直线表达式求出点A、B的坐标，把这两个点的坐标代入二次函数表达式即可求解；

（2）利用两个三角形夹角相等、夹边成比例，即可证明△BOD∽△AOB；

（3）证明△BCP∽△BAC，则，求出BP的长度，即可求解．

【解析】
（1）∵抛物线y＝ax2﹣4ax+4经过点A和点B，点B在y轴上，

∴当x＝0时，y＝4，

∴点B的坐标为（0，4），

∵直线y＝﹣x+b与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，

∴b＝4，

∴直线y＝﹣x+4，

当y＝0时，x＝8，

∴点A的坐标为（8，0），

∵抛物线y＝ax2﹣4ax+4经过点A和点B，

∴a×82﹣4a×8+4＝0，解得，a＝，

∴抛物线y＝x2+x+4；

（2）证明：∵y＝x2+x+4＝+，该抛物线的对称轴与x轴相交于点D，

令y＝0，解得：x＝﹣4和8，则点C的坐标为（﹣4，0），即：OC＝4，

∴点D的坐标为（2，0），∴OD＝2，

∵点B（0，4），

∴OB＝4，

∵点A（8，0），

∴OA＝8，

∴, ，

∴，

∵∠BOD＝∠AOB＝90°，

∴△BOD∽△AOB；

（3）连接CP，∵△BOD∽△AOB，

∴∠OBD＝∠BAO＝α，∠BCP＝∠DBO＝α，

∴∠BCP＝∠BAO＝α，而∠CPB＝∠CBP，

∴△BCP∽△BAC，则，

其中，BC＝4 ，AB＝4，代入上式并解得：BP＝，

过点P作x轴的平行线交y轴于点H，

∵PH∥x轴，

∴，

即：，解得：PH＝，

即：点P的横坐标为：，

同理可得其纵坐标为，

即点P的坐标为（，）．